TOPSIS法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) 可翻譯為逼近理想解排序法,國內常簡稱為優劣解距離法。TOPSIS 法是壹種常用的利用 原始數據 進行綜合評價的方法,其基本原理,是通過檢測評價對象與 最優解、最劣解 的距離來進行排序,若評價對象最靠近最優解同時又最遠離最劣解,則為最好;否則不為最優。其中最優解的各指標值都達到各評價指標的最優值。最劣解的各指標值都達到各評價指標的最差值。以獎學金為例,假定是否獲得獎學金只與語文、數學、英語這三科的成績相關,妳的成績是80,90,100,而最好的成績是100,100,100,最差的成績是50,60,50。則妳和最優解的距離為? ;和最劣解的距離為 。
step1:指標正向化。
具體在評價時會遇到的指標可以分成四類,①極大型指標,也稱為效益型指標,數值越大越好,包括成績、收入等②極小型指標,也稱為成本型指標,數值越小越好,包括開銷、死傷人數等③中間型指標,數值有壹個中間的最優點,如ph值越接近7越好,血壓越接近理想血壓(收縮壓120 mmHg,舒張壓80 mmHg)越好④區間型指標,數值在壹個區間內最好。如城市最優人口規模在1000到1200萬之間(數字僅用來舉例,無實際意義)。
根據不同類型的指標需要按照不同的公式進行正向化處理,即把所有指標轉化為極大型。
極小型轉化最容易,直接用max-x即可,若變量x為正數,也可直接取倒數。如開銷最大是3000,x變量對應的開銷為1000,轉化後的值應為3000-1000=2000,或者直接取倒數為1/1000。
中間型轉化公式為 以ph值為例,最優解 為7。壹組數據有7,8,9三個變量,則 , , 。所以 。取i=2,原始數據為8,轉化後位1-(8-7)/2=1/2。
區間型轉化較為復雜,若{ }為壹組中間型指標序列,且最佳的區間為[a,b],那麽正向化的公式如下:
以人體體溫為例,原始數據為35.2,35.8,36.6,37.1,37.8,38.4。最優區間為36到37,則a=36,b=37,M=max(36-35.2,38.4-37)=1.4,代入上述公式即可得到轉換後的數據。
step2:正向化矩陣標準化
假設有n個要評價的對象,m個正向化的評價指標,則可以構建正向化矩陣。 為第壹個對象在第二個評價指標上正向化之後的得分。
將標準化矩陣記為Z,則其中的每壹個元素都等於對應矩陣X中的元素取值除以所在列元素的平方和開根號,即 。
step3:計算得分並歸壹化
n個評價對象,m個評價指標的標準化矩陣如下:
定義最大值為每列元素最大值的集合
定義最小值為每列元素最小值的集合
則第i個評價對象與最大值的距離為j個指標分別與最大值計算距離之後的求和:
同理,第i個評價對象與最小值的距離為j個指標分別與最小值計算距離之後的求和:
那麽,第i個評價對象未歸壹化的得分為 ,即z與最小值的距離除以z與最大值的距離和z與最小值的距離之和。因為距離都是非負的,很明顯 取值在0和1之間, 越大, 越大,即越接近最優解。
歸壹化之後的得分為 ,此處應滿足 。
歸壹化和標準化本質上都是為了消去量綱的影響,結果歸壹化之後更容易比較大小。
得到所有方案的得分之後,建議對排序後的分數進行可視化展示,可利用excel繪制柱形圖。
按照上圖所示,方案5的得分最高,所以應選擇方案5。
上述過程為基本topsis模型,該模型默認所有指標的權重相同,可以利用層次分析法或熵權法確定指標權重,構建帶權重的topsis模型。
資料來源:
以上資料來源於b站(up主:數學建模學習交流)/video/BV1gJ411k7X4from=search&seid=6343799996011307859。
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